Fondamenti della meccanica atomica
Lo stesso sviluppo si può ottenere in una forma più comoda usando le autofunzioni (29), che si possono raccogliere nell'unica formula
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dove fλ è una funzione della variabile continua λ, e l'integrazione rispetto a λ si intende fatta su tutto lo spettro continuo di autovalori. La
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è lo stesso della (62) (in virtù della (51') del § 12), e come semilunghezza (1) Applicandola p. es. al gruppo d'onde della fig. 19, questa
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Con ciò lo sviluppo della f si scrive (v. (57)):
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Mediante lo sviluppo di Fourier un pacchetto d'onde si può considerare ottenuto sovrapponendo infiniti treni d'onde monocromatici, di diverso vettore
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(2) Non occorre dire che il procedimento euristico qui riportato non riproduce affatto lo svolgimento storico della teoria (per il quale rinviamo a
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soddisfa evidentemente la stessa equazione (131) della , ed ha lo stesso modulo, cosicchè la sua considerazione non ci dà nulla di nuovo.
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Mostreremo ora l'applicazione di questa equazione a qualche problema particolare, con lo scopo sopratutto di illustrare meglio, su esempi
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Come si vede, poichè e hanno lo stesso modulo, le onde riflesse hanno uguale ampiezza di quelle incidenti, si ha cioè
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di trovare le componenti dell'impulso comprese tra e . La funzione ha dunque, rispetto alle misure di impulso, lo stesso significato che ha la
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Ricordando ora il principio di sovrapposizione, possiamo interpretare nel modo seguente la soluzione (213): quando lo stato della particella è
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A questa equazione si può applicare ancora lo stesso procedimento, e così si riconosce, derivando j volte, che la funzione , cioè la derivata j-esima
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Come si è accennato al § 32, l'intensità e lo stato di polarizzazione della radiazione emessa nel salto quantico da uno stato n ad uno stato m sono
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ed a questi corrispondono altrettante ellissi, tutte con lo stesso semiasse maggiore, ma con diverso semiasse minore: l'ultimo è il cerchio di raggio
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Vogliamo ora stabilire un confronto tra lo spettro che un sistema emette in base alla teoria di Bohr e Sommerfeld (spettro quantistico) e lo spettro
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Applicando successivamente lo stesso procedimento si giunge evidentemente allo sviluppo (349).
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dove i coefficienti sono funzioni di . A ciascuno di questi coefficienti possiamo ora applicare lo stesso procedimento, considerandolo funzione della
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Lo spettro fittizio che abbiamo convenuto di chiamare classico si compone, perciò, di righe che sono individuate da due gruppi di indici: (che
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Lo sviluppo d Fourier si riduce dunque ai soli due termini di frequenza , e cioè mancano tutti i termini in cui l'indice non è uguale a ± 1. Saranno
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Lo spettro emesso consta quindi di infinite righe, equidistanti (nella scala delle frequenze). Tale risultato è assai importante per la teoria degli
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Ora si osservi che, a causa del movimento di precessione, r ed non hanno lo stesso periodo: indicando con e le rispettive frequenze, e con la
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acquista lo stesso significato che ha nello spazio ordinario la nota relazione
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Si osservi che se e ammettono entrambi un reciproco, anche il loro prodotto lo ammette, ed è (si noti l'inversione dei fattori): difatti
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Inoltre si vede immediatamente che: se un operatore è permutabile con , lo è anche con qualunque F().
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Ad ogni o. l. corrisponde così una matrice, che lo individua perfettamente, e che si indica generalmente con lo stesso simbolo dell'operatore: spesso
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Similmente si troverà la formula (ottenibile dalla precedente con lo scambio di con e di f con g)
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D'altra parte, , essendo permutabile con , lo è anche con , quindi
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I risultati di un'osservazione massima definiscono completamente lo stato del sistema (supposto isolato). Resta così precisata la nozione quantistica
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esterne, definendo lo stato del sistema in un dato istante t come lo stato in cui esso resterebbe se al tempo t cessasse l'azione esterna. Si capisce che
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sistema ne altera generalmente lo stato. Vi sono però dei casi in cui ciò non avviene: p. es., se il sistema è in uno stato stazionario si può
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Il vettore , considerato come funzione del tempo, caratterizza lo «stato» del sistema e verrà chiamato nel seguito «vettore di stato».
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Si riconosce facilmente che, se in un dato istante le particelle sono statisticamente indipendenti, esse lo sono anche in qualunque altro istante
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Ora, se lo stato di ciascun sistema è rappresentato dal vettore (lo stesso per tutti i sistemi) e se si chiama l'autofunzione dell'operatore
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Se l'insieme è un miscuglio, lo si decomporrà in insiemi parziali, in ciascuno dei quali lo stato dei sistemi è rappresentato da un vettore , si
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(1) Non sarà inutile riassumere lo schema di questo calcolo, che risulta dai §§ precedenti. Siano le osservabili misurate al tempo 0 (costituenti
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È questa una osservazione massima, che determina completamente lo stato del sistema (infatti, la sua sarà l'autofunzione dell'equazione di
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lo spazio hilbertiano è riferito a quel particolare sistema, di assi che abbiamo chiamato «continui» (v. § 2) (individuato ciascuno da un gruppo di
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Fissato lo «schema», ad ogni osservabile A corrisponde una matrice hermitiana
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Ricordiamo dal § 12 che, in particolare, la matrice che nello schema K rappresenta l'osservabile K, cioè la stessa che serve a definire lo schema, è
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Consideriamo dapprima il sistema imperturbato, e diciamo l'hamiltoniana che lo caratterizza (distingueremo in genere con uno zero in alto le quantità
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Per lo stato perturbato i-esimo si avrà invece
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Di qui si ricavano le c, moltiplicando i due membri per e integrando su tutto lo spazio delle q: si ottiene così
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Supponiamo che per t = 0 lo stato del sistema sia rappresentato da una certa da considerarsi nota, che, sviluppata in serie mediante le , sia
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che, sostituiti nella (221), ci danno lo stato perturbato in prima approssimazione.
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combinazioni lineari, secondo lo schema (conforme alla regola di moltiplicazione delle matrici):
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Nel primo caso si ha dunque , vale a dire lo spin è diretto con certezza nel verso dell'asse z, nel secondo caso e lo spin è diretto con certezza nel
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Dovendosi escludere la soluzione , dovrà aversi o o : e poichè ognuno di questi autovalori, come vedremo subito, è doppio, lo conteremo per due, e
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in cui lo spin è parallelo all'asse z, la II invece al caso in cui lo spin è antiparallelo all'asse z: la soluzione più generale, che si ottiene
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che è tuttora la relazione fondamentale della spettroscopia. Analoga relazione vale per l'assorbimento (salvo lo scambio di En con En').
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(1) Lo studio generale delle proprietà di simmetria delle autofunzioni di particelle è stato fatto coi metodi della teoria dei gruppi da E. WIGNER
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Accademia della crusca
